Los temas a tratar en esta investigación como entradas en el blog son:

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• Historia ZFC

• Axiomas de ZFC y buen orden

• Número ordinal, conjuntos puros y conjuntos bien fundados

• Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG)

• Motivación a través de Jerarquía

• Clases e introducción a la consistencia

• Consistencia relativa de ZFC

• Aritmética de Robinson

• Segundo teorema de incompletitud de Gödel

• Cardinales inaccesibles

• Teoría de indefinilidad de Tarski

• Conclusión

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En la medida de lo posible profundizaremos tanto como podamos,  apoyándonos en el curso de Introducción a la teoría de conjuntos pero sobre todo con mucho trabajo grupal. Como primer parte de nuestra investigación citamos la siguiente página en donde encontramos un buen resumen de lo que encontraran los visitantes y lectores de nuestra página a lo largo del tiempo:

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"El segundo teorema de incompletitud de Gödel dice que un sistema recursivamente axiomatizable que puede interpretar la aritmética de Robinson puede demostrar su propia consistencia solo si es inconsistente. Además, la aritmética de Robinson se puede interpretar en la teoría de conjuntos general, un pequeño fragmento de ZFC. Por lo tanto, la consistencia de ZFC no se puede probar dentro de la propia ZFC (a menos que sea realmente inconsistente). Por lo tanto, en la medida en que ZFC se identifica con las matemáticas ordinarias, la consistencia de ZFC no se puede demostrar en las matemáticas ordinarias. La consistencia de ZFC se sigue de la existencia de un cardenal débilmente inaccesible , que no se puede probar en ZFC si ZFC es consistente. Sin embargo, se considera poco probable que ZFC albergue una contradicción insospechada; Se cree ampliamente que si ZFC fuera inconsistente, ese hecho ya se habría descubierto. Lo cierto es que - ZFC es inmune a las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos ingenua: la paradoja de Russell, la paradoja Burali-Forti, y la paradoja de Cantor. Abian y LaMacchia (1978) estudiaron una subteoría de ZFC que consta de los axiomas de extensionalidad, unión, conjunto de poderes, reemplazo y elección. Usando modelos, demostraron que esta subteoría era consistente y demostraron que cada uno de los axiomas de extensionalidad, reemplazo y conjunto de poder es independiente de los cuatro axiomas restantes de esta subteoría. Si esta subteoría se aumenta con el axioma del infinito, cada uno de los axiomas de unión, elección e infinito es independiente de los cinco axiomas restantes. Debido a que existen modelos no bien fundamentados que satisfacen cada axioma de ZFC excepto el axioma de regularidad, ese axioma es independiente de los otros axiomas de ZFC. Si es consistente, ZFC no puede probar la existencia de los cardenales inaccesibles que requiere la teoría de categorías . Son posibles conjuntos enormes de esta naturaleza si ZF se aumenta con el axioma de Tarski . Suponiendo que Axiom vueltas los axiomas de infinito, conjunto potencia, y elección (7  -  9 más arriba) en teoremas.

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Muchas declaraciones importantes son independientes de ZFC (consulte la lista de declaraciones indecidibles en ZFC ). La independencia generalmente se prueba forzando, mediante lo cual se muestra que cada modelo transitivo contable de ZFC (a veces aumentado con axiomas cardinales grandes ) puede expandirse para satisfacer el enunciado en cuestión. Luego se muestra una expansión diferente para satisfacer la negación del enunciado. Una prueba de independencia forzando automáticamente prueba la independencia de enunciados aritméticos, otros enunciados concretos y grandes axiomas cardinales. Se puede demostrar que algunas afirmaciones independientes de ZFC se mantienen en modelos internos particulares, como en el universo construible. Sin embargo, algunas afirmaciones que son verdaderas sobre conjuntos construibles no son consistentes con los grandes axiomas cardinales hipotetizados."  [1].

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[1] Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel - Zermelo–Fraenkel set theory. Recuperado de: https://es.qaz.wiki/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory

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