Axiomas del Sistema ZFC y Teorema de Buen Orden

Actualizado: 30 nov 2020
El sistema axiomático Zermelo Fraenkel con Axioma de Elección es la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos. La Teoría de Conjuntos nace en la década de 1870 como un área del análisis matemático, gracias a la influencia de George Cantor y Richard Dedekind. La forma en que Cantor empezó a desarrollar esta área es conocida como teoría informal de conjuntos, y en esta se da lugar a antinomias como la Paradoja de Russell, descubierta en 1901. Es por eso que a inicios del siglo XX se identifica la necesidad de una axiomatización de la teoría de conjuntos. Fue Ernst Zermelo quien propuso la primera de estas en 1908. Esta constaba de siete axiomas conocidos como los Axiomas de Zermelo.

Más tarde, en la primera mitad de los años 1920, Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem proponen mejoras a la Teoría de Conjuntos de Zermelo. Entre estas se encuentran el uso de propiedades de lógica de primer orden, el axioma de reemplazo y el axioma de pares, que había presentado por Zermelo como un caso del axioma de conjuntos elementales. El axioma de reemplazo es propuesto tanto por Fraenkel como por Skolem de manera independiente en 1922 y 1923, respectivamente.  Este axioma fue propuesto para el desarrollo de ordinales y cardinales transfinitos. 

El axioma de fundación, que afirma que todo conjunto es un conjunto bien fundado, fue introducido por John von Neumann en 1925. El axioma de fundación se utiliza también en la definición de conjuntos puros (o conjuntos hereditarios). Estos últimos son definidos como conjuntos cuyos elementos son conjuntos, también puros. Este concepto es relevante cuando hay presencia de ur-elementos, objetos que no son conjuntos pero pueden ser elementos de otros conjuntos. En el sistema Zermelo-Fraenkel no hay ur-elementos.
EL Congreso Internacional de Matemático de 1932 en Zurich, Suiza, donde Abraham Fraenkel fue uno de los oradores invitados.
Una forma interesante de observar los axiomas es con grafos directos acíclicos donde los vértices son conjuntos y las aristas representan la relación de pertenencia ∈.
Junto con los axiomas de reemplazo y fundación, se constituye lo que hoy se conoce como los Axiomas de Zermelo-Fraenkel excluyendo el Axioma de Elección (ZF).

Al sistema axiomático Zermelo-Fraenkel con Axioma de Elección se le denota ZFC. A continuación se presentan los 10 axiomas:

Axioma de Existencia (o Axioma del Conjunto Vacío)
Esta axioma es a veces omitido debido a que se puede demostrar la existencia de un conjunto que no tiene elementos con el axioma de separación.

Axioma de Extensionalidad
Este axioma es independiente y consistente a los demás axiomas de ZFC.

Esquema Axiomático de Separación/Especificación
Este esquema axiomático es en ocasiones demostrado a partir del axioma de reemplazo.

Axioma de Pares (o Axioma del Conjunto Binario)
El segundo axioma presentado originalmente por Zermelo era el axioma de conjuntos elementales que afirma (1) la existencia de un conjunto nulo "ficticio" que no contiene elementos, (2)la existencia de un conjunto unitario por cada objeto del universo (dominio) y (3) la existencia de un conjunto que contiene exactamente dos elementos para cualesquiera dos objetos del universo. La primera parte, (1), es lo que ahora es el axioma de existencia. Las partes (2) y (3) son equivalentes al axioma de pares, pues si x=y entonces z={x,y}={x,x}={x}.
Este axioma en ocasiones es formulado como la existencia de un conjunto que contiene a x, y, sin negar la posibilidad de que tenga otros elementos diferentes a x ó y:
Axioma de Uniones
Este axioma es independiente a los demás axiomas de ZF.

Axioma de Partes
Este axioma es independiente a los demás axiomas de ZFC.
Conjunto de partes de {a,b,c}.
Axioma del Infinito
Este axioma no puede ser probado a partir de de modelos consistentes de ZF.

Esquema Axiomático de Reemplazo
Este axioma tampoco puede ser probado a partir de otros axiomas de ZF.
Dada la propiedad F(x) funcional, x∈A, el axioma garantiza la existencia de B tal que F[A]=B.
Axioma de Fundación/Regularidad
Este axioma es independiente a los demás axiomas de ZF. Es importante debido a que excluye los conjuntos "circulares" de la teoría de conjuntos, es decir, el hecho de que un conjunto no puede pertenecer a sí mismo.

Axioma de Elección (AC)
Este axioma es independiente a los axiomas de ZF.
Representación de la función selectora.
Aunque el Axioma de Elección inicialmente no fue totalmente aceptado, al día de hoy la comunidad matemática lo acepta como una herramienta válida para demostrar diferentes resultados. Citando a Zermelo,
AC es equivalente a varias proposiciones, entre la cuales está el Teorema de Buen Orden:

Teorema de Buen Orden (TBO)
El Teorema del Buen Orden afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado. Este enunciado es equivalente al Axioma de Elección y también es llamado Principio de Buen Orden en algunos textos.

Cantor introdujo la conjetura en 1983 y la describió como un principio muy básico de pensamiento ("very basic law of thought"). Zermelo publicó una demostración en 1904, donde formuló el Axioma de Elección como el "principio de elección", pues no la habría de llamar axioma hasta 1908 (este axioma ya había usado implícitamente con anterioridad por otros matemáticos). Esta prueba no tuvo gran acogida por parte de la comunidad matemática, por lo que Zermelo produjo una nueva prueba que presentó en 1908.
Ernst Zermelo fue nombrado profesor en Göttingen en 1905.
En esta prueba utilizó la noción de cadenas y el principio de elección de forma diferente. Mientras que en la prueba de 1904 utilizaba este principio formulado como la existencia de una función selectora de un conjunto S, para la prueba de 1908 lo formuló como la existencia de un subconjunto de la unión de los elementos de S (disyuntos dos a dos y distintos de vacío) que tiene exactamente un elemento en común con cada elemento de S. Esta prueba tuvo mayor aceptación. Dos meses después, aún en 1908, publicó su axiomatización donde formuló el principio de elección como el Axioma de Elección.

Imágenes: Wikimedia Commons.



 
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Teoría De Conjuntos De Zermelo-Fraenkel - Zermelo–Fraenkel Set Theory. Qaz.wiki, es.qaz.wiki/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
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Wikipedia: Artículo Ernst Zermelo. Artículo Abrahan Fraenkel. Artículo Zermelo–Fraenkel set theory.