Kurt Gödel
Lógico, matemático y filósofo, nació 28 de abril de 1906 en Brünn (Imperio austrohúngaro), fallece el 14 de enero de 1978 en Estados Unidos.
En el año de 1930 escribe uno de los trabajos mas conocidos de 25 paginas, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y Sistemas afines) y publicado en 1931 por la revista Monatshefte für Mathematik und Physik.
Allí Gödel se propone como objetivo principal demostrar lo que hoy se conoce como el "teorema de incompletitud de Gödel".
En 1930 Gödel había demostrado en otro famoso teorema, la completitud de la lógica de primer orden. En muy resumidas palabras, este teorema dice que los axiomas y reglas de deducción usuales son suficientes para decidir todas las cuestiones lógicas que pudieran ser formuladas allí.
Segundo Teorema de incompletitud (Gödel, 1931)
Sea A un sistema consistente de axiomas que sea mínimamente expresivo. Entonces la consistencia de A no es demostrable en A.
Teniendo en cuenta la siguiente definición dada por David Hilbert que proponía dar un conjunto de axiomas para la aritmética que cumpliera estas cuatro condiciones:
1. El sistema debía ser consistente; es decir, no debía existir un enunciado P tal que P y su negación fueran simultáneamente demostrables a partir de los axiomas. 2. La validez de cualquier demostración basada en esos axiomas debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos. 3. Dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación debía ser demostrable a partir de los axiomas. 4. La consistencia de los axiomas (es decir, la validez de la primera condición) debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos.
El teorema nos dice que si se cumplen las dos primeras condiciones y una versión más débil de la tercera entonces es la cuarta condición la que no podrá cumplirse.
Ahora hablando de nuestro tema principal del blog la consistencia de ZFC, si tenemos la aritmética de Robinson se puede interpretar en la teoría de conjuntos general, un pequeño fragmento de ZFC. Por lo tanto, la consistencia de ZFC no se puede probar dentro de la propia ZFC (a menos que sea realmente inconsistente).
Por lo tanto, en la medida en que ZFC se identifica con las matemáticas ordinarias, la consistencia de ZFC no se puede demostrar en las matemáticas ordinarias. La consistencia de ZFC se deriva de la existencia de un cardenal débilmente inaccesible , que no se puede probar en ZFC si ZFC es consistente. Sin embargo, se considera poco probable que ZFC albergue una contradicción insospechada; Se cree ampliamente que si ZFC fuera inconsistente, ese hecho ya se habría descubierto. Lo cierto es que - ZFC es inmune a las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos ingenua : la paradoja de Russell, la paradoja Burali-Forti , y la paradoja de Cantor.
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