Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo
Fue un matemático, físico y filósofo del siglo XX, nació el 27 de julio de 1871 en Berlín muere a los 81 años en Friburgo de Brisgovia el 21 de mayo de 1953.
En el año 1900 en el segundo congreso de ICM (International Congress of Mathematicians) en París, David Hilbert matemático alemán presentó los Problemas de Hilbert, siendo 23 problemas aún no resueltos en esa época.
El primero de los problemas era la Hipótesis del continuo formulado por Georg Cantor en 1878 luego de esto Zermelo comenzó a trabajar sobre los problemas dando a conocer en 1904 el Axioma de elección para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado y probar el teorema del buen orden, pero al carecer de axiomatización fue rechazada por la mayoría de matemáticos.
En 1908 publicó su sistema axiomático aunque no había prueba de su consistencia, después en 1922 Adolf Frankel y Thoralf Skolem trabajan y presentan un sistema axiomático más completo y mejorado el cual es denominado axiomas de Zermelo-Fraenkel.
Abraham Halevi (Adolf Fraenkel)
(En hebreo אברהם הלוי "אדולף" פרנקל)
Alemán nacionalizado en Israel, fue un matemático que nació el 17 de febrero de 1981 en Múnich y muere a los 74 años en Jerusalén el 15 de octubre de 1965.
Estuvo fuertemente involucrado en la teoría de conjuntos en 1919 publica “Einleitung in die Mengenlehre" que podemos ver enseguida las primeras páginas de la versión de 1929:
De 1922-1925 mejora y elimina paradojas del sistema axiomático de Zermelo el cual luego al demostrar la independencia de estos obtenemos los axiomas de ZF.
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se basa en el sistema axiomático ZF la cual está libre de varias paradojas que anteriormente teníamos con la Teoría de conjuntos de Georg Cantor como la paradoja de Russell:
[1]Según la teoría de cantor, cualquier colección definible es un conjunto . Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Si R no es un miembro de sí mismo, entonces su definición dicta que debe contenerse a sí mismo, y si se contiene a sí mismo, entonces contradice su propia definición como el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Esta contradicción es la paradoja de Russell.
Simbólicamente:
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido se abrevia ZFC , donde C significa "elección", y ZF se refiere a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido.
Esta teoría se refiere en que todo los elementos del universo son conjuntos, esta no permite la existencia de un conjunto universal, ni la comprensión sin restricciones evitando así la paradoja de Russell. La teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) es una extensión conservadora de uso común de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que permite un tratamiento explícito de las clases adecuadas.
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