Tendríamos que escribir una entrada completa para narrar todos los logros
de Cantor y sus aportes a la teoría de conjuntos, pero en esta entrada solo hablaremos de los números ordinales, los cuales son una generalización del concepto de número natural o del proceso de contar
Cantor incorpora estos números y a partir de tres principios:
Primer principio: La adición sucesiva de unidades.
Por el primer principio se obtiene la secuencia: 1, 2, 3, ..., n, ..., de nuestros números naturales. A partir de la sucesión de ordinales de construimos los ordinales transfinitos numerables.
Segundo principio: El límite de sucesiones crecientes.
El segundo principio define ω = lím n, el cual corresponde al menor ordinal que es mayor de todos los naturales, el cual se designa con el símbolo ω. A partir de nuestra función sucesor podemos construir nuevos ordinales, y nuevamente aplicarle el límite, de tal suerte que se podía obtener una cadena infinita de ordinales:
1, 2, 3, ... ω, ω+1, ω+2, ... ω2 , ω2+1, ω2+2, ω2+3, ...;
uego viene ω3, ω4, ω5, ... después de todos estos seguirá ω*ω o ω^2, donde se inicia nuevamente el proceso:
...ω^2,ω^2+1,ω^2+2,...,ω^2+ω,ω^2+ω+1,ω^2+ω+2,...,ω^2+2ω,ω^2+2ω+1, ...,ω^2+3ω,...,ω^2+4ω,...,2*ω^2,...,3*ω^2,...ω^3,...,ω^4,...,ω^ω,..., ω(ω^ω),..., ω(ω^ω^ω),...
Tercer principio: Aumento de cardinalidad.
el tercer principio de generación le permite incorporar conjuntos bien ordenados no numerables al establecer el menor ordinal que es mayor que cualquier ordinal, el cual se designa como Ω, y que corresponde al primer ordinal transfinito. Partiendo de la diferencia entre “Zahl”[1] y “Anzahl”[2], Cantor define, en Contribuciones a la fundamentación de la teoría de conjuntos transfinitos de 1896, los cardinales transfinitos:
\aleph_{0} : es el cardinal de los conjuntos infinitos numerables.
\aleph_{1} : es el número cardinal que sigue en orden de magnitud de acuerdo con la cadena de construcción de los ordinales.
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