Como es bien sabido, el inicio de Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, o de una manera no tan precisa en español, Contribuciones a la creación de la teoría de los números transfinitos, nos da la siguiente definición de conjunto:
“Por un ‘conjunto’ —en alemán Menge— debemos entender cualquier colección en un todo M, de objetos m definidos y separados de nuestra intuición y pensamiento. Dichos objetos son llamados ‘elementos’ de M”
Así, las primeras frases del reconocido artículo escrito por Georg Cantor nos parecen indicar una de las diferencias más importantes entre conjuntos y clases, términos que a simple vista parecen indistinguibles, e incluso a veces se usan como sinónimos. Es más, probablemente esta definición fue la que impulsó el desarrollo de la teoría de conjuntos y de la axiomatización de la matemática en general, definición que ha generado debates hasta el día de hoy.
Por ejemplo, en el Principia Mathematica de Bertrand Russell y Alfred Whitehead, se hace un énfasis en el Principio del Círculo Vicioso, que evidencia las posibles antinomias o contradicciones que se pueden derivar de una teoría informal de conjuntos como la propuesta por Cantor, al intentar hablar sobre los conjuntos de todos los elementos.
Como veremos posteriormente, el sistema axiomático de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) surge como una manera de axiomatizar la noción de conjunto, y a su vez, las clases se convierten en un concepto básico de este sistema axiomático. El concepto de clase surge entonces como una manera de evitar la contradicción —con el esquema axiomático de compresión de ZF— al implementar el siguiente principio de comprensión:
“Para toda condición P(x) de la teoría A, existe un conjunto Q que consiste exactamente de todos los objetos que cumplen la condición”
Así, por clase debemos entender la extensión de una condición P(x), es decir, la colección de los conjuntos x tales que x cumple la condición P(x). En este contexto, las clases son consecuencia del principio de comprensión, y los conjuntos serían tratados como elementos. Partiendo de este concepto, y de la pertenencia para el caso específico de NBG, es de donde se desarrollan varios de los sistemas axiomáticos como el de Quine o el de Ackermann, y lo propio con la teoría de tipos de Russell.
Referencias
Cantor, G. (n.d.). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Dover Publications.
Fraenkel, A., Frankel, P., Bar-Hillel, Y., Lévy, A., & van Dalen, D. (1973). Foundations of Set Theory: Vol. Second Edition. Elsevier Gezondheidszorg.
Muller, F. (2001). Sets, Classes, and Categories. The British Journal for the Philosophy of Science, 52(3), 539–573. https://doi.org/10.1093/bjps/52.3.539
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