De acuerdo al segundo teorema de incompletitud de Gödel, no se puede probar la consistencia de ZFC dentro de ZFC. Es un enunciado indecidible. Una prueba de consistencia o de indecidibilidad de un enunciado es siempre una prueba de consistencia relativa: Se asume que ZFC es consistente, por lo tanto tiene un modelo, y se construye otro modelo de ZFC que satisface el enunciado [1].
Una subteoría de ZFC es un conjunto de axiomas de ZFC. Los axiomas de Extensionalidad, Reemplazo, Conjunto Potencia, Uniones y Elección son una subteoría de ZFC.
Enunciado.
Los cinco axiomas de Extensionalidad, Reemplazo, Conjunto Potencia, Uniones y Elección son consistentes.
Veamos la consistencia con un modelo propuesto por Abian y LaMacchia (1978) donde los axiomas dados son consistentes. Para lo anterior es suficiente ver que cada axioma que nos interesa es válido en este modelo.
Sea M el modelo tal que
1. Su universo son los conjuntos denotados por los símbolos
2. Su relación de pertenencia está definida por:
Esto es lo mismo que decir que x* pertenece a y* si y solo si x aparece como un exponente en la representación única de y como la suma de distintas potencias de 2. La existencia de esta última representación para cada natural es un hecho que se puede probar con inducción fuerte.
De ahora en adelante, se entenderá que si x* es un conjunto del universo del modelo M y decimos que
entonces la anterior es la representación única de x como la suma de distintas potencias de 2. Esto es, x*={n*₁,n*₂,...,n*ₖ}.
Extensionalidad
Dado que cada número natural tiene una representación única en suma de distintas potencias de 2, dos conjuntos del universo de M tienen los mismos elementos si y solo si tienen la misma representación en suma de distintas potencias de 2. Por lo tanto, en el modelo M el Axioma de Extensionalidad es válido.
Reemplazo
Sea x* un conjunto y φ(u,v) una propiedad funcional en u para v, definida en x* con
Sean m*₁,m*₂,...,m*ₚ los conjuntos tales que φ(n*ᵢ,m*ₑ) para algún i≤k y algún e≤p. Considere ahora y* con
Es evidente que y* es un conjunto del universo y el rango de φ(u,v). Por lo tanto, el Axioma de Reemplazo es válido en el modelo M.
Partes
Sea x* un conjunto tal que
Consideremos ahora
Se observa que y* es conjunto del universo y que es el conjunto potencia de x*. Pues cada término de la suma es un 2 elevado a una potencia que es la representación de un z, tal que z* es un subconjunto de x*. Por lo tanto, el Axioma de Partes es válido en el modelo M.
Uniones
Sea x* un conjunto tal que
Considere ahora y* con
Luego, y* es la unión de los elementos de x*. Es decir, en el modelo M el Axioma de Uniones es válido.
Elección
Sea x* un conjunto tal que
Sea y* un conjunto dado por
Sea f una función en x* para y* definida por f(n*ᵢ)=r*ᵢ. Esto es, f es una función selectora de x*. Por lo tanto, el Axioma de Elección es válido en el modelo M.
Recordemos que el Axioma de Separación, que se puede demostrar a partir del Axioma de Reemplazo, implica el Axioma del Conjunto Vacío y junto con el Axioma de Partes implica el Axioma de Pares.
El Axioma de Fundación también es independiente de los demás axiomas de ZFC, aunque en este modelo en particular, es válido. En este modelo se puede ver que cada conjunto tiene un número finito de elementos. Es por esto que el Axioma del Infinito es independiente de los axiomas de Extensionalidad, Reemplazo, Conjunto Potencia, Uniones y Elección y por ende, de los demás axiomas de ZFC.
[1] Bagaria, Joan, "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2018 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/win2018/entries/set-theory/.
[2] Abian, Alexander; LaMacchia, Samuel. On the consistency and independence of some set-theoretical axioms. Notre Dame J. Formal Logic 19 (1978), no. 1, 155--158. doi:10.1305/ndjfl/1093888220. https://projecteuclid.org/euclid.ndjfl/1093888220
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