Por fin, nuestro objetivo del blog: La consistencia de ZFC. Ya sabemos que para probar que ZFC es cosistente si y solo si existe un modelo de ZFC. Ahora veamos un modelo de ZFC:
Una forma de construir nuestro modelo de ZFC es utilizando el universo constructible de Gödel con cardinales débilmente inaccesibles. Primero necesitamos saber qué es una formula ∆0:
Una fórmula Δ0 se dice absoluta si Δ0, por ejemplo cuando φ(x)es
(∃y∈x)(∀z∈y)(z∉x),
φ(x) es válida en un modelo M transitivo entonces se mantiene para los parámetros de la fórmula, en este caso, Δ0 es válida para todos los miembros de x, y, z... Esto se debe a que esta cuantificación acotada (limitada) es transitiva.
Ahora si, vamos al modelo. Sea (Lκ, ∈) el modelo del universo construible con la existencia de cardinales débilmente inaccesibles. Este es un modelo transitivo porque L es una clase transitiva (como lo vimos en el post del universo constructible de Gödel). Por esto último, cada fórmula Δ0 es absoluta para L.
Cuando hablemos de L también nos referiremos al módelo (Lκ, ∈).
Extensionalidad
Debido a que L es transitivo, L cumple el Axioma de Extensinalidad.
Pares
Sean a, b ∈ L, y sea c = {a, b} (note que es fórmula ∆0). Sea α tal que a ∈ Lα y b ∈ Lα. Como {a, b} es definible sobre Lα, tenemos que c ∈ Lα + 1, y dado que la fórmula “c = {a, b}” es ∆0, el Axioma de Pares se cumple en L.
Separación
Sea φ una fórmula. Dado X, p ∈ L, ahora veamos que el conjunto Y = {u ∈ X : φ_L(u, p)} está en L. Por el principio de reflexió, aplicado a la jerarquía acumulativa Lα, existe un α tal que X, p ∈ Lα y además Y = {u ∈ X : ϕ_Lα(u, p)}. Así
Esto es, cuando todos los valores posibles en los que Lα es verdadera, u también lo es. Y así además, Y ∈ L.
Unión
Dado X ∈ L, sea Y = ∪ ( X ) (unión). Como L es transitivo, tenemos Y ⊂ L. Ahora, sea α tal que X ∈ Lα y Y ⊂ Lα. Y es definible sobre Lα mediante la fórmula ∆0 “x ∈ X" y, por lo tanto, Y ∈ L. Dado que “Y = ∪ X ” es ∆0, el Axioma de Unión se cumple en L.
Power Set
Dado X ∈ L, sea Y = P(X) ∩ L. Sea α tal que Y ⊂ Lα. Y es definible sobre Lα mediante la fórmula ∆0 “x ⊂ X" y, por tanto, Y ∈ L. Afirmamos que Y = P_L (X), es decir, que "Y es el conjunto de potencias de X" se cumple en L. Pero "x ∈ Y ↔ x ⊂ X” es una fórmula ∆0 verdadera para todo x ∈ L.
Infinito
Existe un conjunto x tal que ∅ está en x y siempre que y ∈ x, también se tiene que y ∪ {y} ∈ x. De la inducción transfinita, obtenemos que cada ordinal α ∈ L{α + 1}. En particular, ω ∈ Lω + 1 y por lo tanto ω ∈ L.
Reemplazo
Acá utilizando cardinales débilmente inaccesible. Si una clase F es una función en L, entonces para cada X ∈ L existe un α tal que {F (x) : x ∈ X} ⊂ Lα. Dado que Lα ∈ L, esto es suficiente.
Regularidad
Si S ∈ L no es vacío, sea x ∈ S tal que x ∩ S = ∅. Entonces x ∈ L y la fórmula ∆0 “x ∩ S = ∅” se cumple en L.
Elección
Con inducción transfinita se puede demostrar que existe un buen orden definible de L. Esta definición funciona de la misma manera en L mismo. Entonces, dado un conjunto x de conjuntos no vacíos disyuntos dos a dos, usando los axiomas de unión y separación en L vamos a elegir el elemento menor de cada miembro de x para formar un conjunto y que contiene exactamente un elemento de cada miembro de x.
Por fin vemos construido un modelo de ZFC. Por lo tanto, ¡ZFC es consistente!
Referencias
[1] Jech, T. (2002). Set Theory (3rd ed.). Springer. (Chapter 13)
Comments