Como vimos en la entrada de Introducción a las clases, se puede desarrollar un sistema axiomático basado en las clases. En particular, se hizo énfasis en el sistema planteado por John Von Neumann y Paul Bernays, y de como al implementar un nuevo principio de comprensión se buscaba eliminar las antinomias como la del conjunto de todos los conjuntos.
Para comenzar la creación de este sistema, debemos establecer un nuevo lenguaje que nos permita plantear las afirmaciones de esta teoría. Por convención, los conjuntos a los que nos habíamos referido durante el desarrollo de la teoría de Zermelo-Fraenkel los notaremos con letras minúsculas —a, b, c, …—. A su vez, a las clases las notaremos con letras mayúsculas —A, B, C, …—. Por lo tanto, es claro notar que durante el desarrollo del sistema axiomático de Von Neumann-Bernays (de ahora en adelante NBG) nos encontraremos con dos relaciones de pertenencia; la pertenencia usual de elementos en conjuntos, y la pertenencia de conjuntos en clases.
Aunque el tipo de letra usada nos dice implícitamente el tipo de relación al que nos referimos —por ejemplo, con a∈{a} nos referimos a la pertenencia usual en conjuntos, y con b∈B nos referimos a la pertenencia de un conjunto en una clase—y por lo general, en los libros se usa el mismo símbolo para identificar a ambos tipos de pertenencia, para evitar confusiones, en este contexto usaremos la letra griega η con la que se denotará la pertenencia de un conjunto en una clase. Además, se usarán todos los conectores lógicos y cuantificadores que ya conocemos.
Dadas las anteriores aclaraciones sobre los que serán nuestros símbolos primitivos, se procede a plantear los axiomas. De manera análoga a como se hizo con el sistema de Zermelo-Fraenkel, se enlistarán los axiomas generales a continuación:
Axioma de extensión para clases: Si para todo elemento a, a es elemento de A si y solo si a es elemento de B, entonces A=B.
Axioma de pares:
Axioma de unión:
Axioma de reemplazo: Note que no es un esquema axiomático como en ZF:
Axioma (predicativo) de comprensión para clases: Existe una clase A que consiste exactamente de aquellos elementos x tales que cumplen la condición P(x), donde P(x) no tiene cuantificadores sobre clases.
Observe que al decir que los axiomas de NBG se plantean análogamente con los de ZF, no nos referimos a una casualidad, sino al hecho de que los axiomas de ZF se convierten en axiomas de NBG. Por lo tanto, algo que es demostrable en ZF se puede demostrar en NBG. Por esta razón, se considera que NBG es una extensión del sistema axiomático de ZF. Sin embargo, es claro que al incluir el concepto de clase, algunas proposiciones de NBG no tienen equivalente en ZF. Una consecuencia importante es que como ZF es consistente, BNG también lo es. Pero en realidad, ¿qué es la consistencia?
Referencias:
Fraenkel, A., Frankel, P., Bar-Hillel, Y., Lévy, A., & van Dalen, D. (1973). Foundations of Set Theory: Vol. Second Edition. Elsevier Gezondheidszorg.
Ivorra, C. (n.d.). Lógica y Teoría de Conjuntos. Recuperado en Noviembre 15, 2020, de https://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf
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