Este es un breve resumen de un tema que fue una propuesta de tema para el proyecto blog.
Independencia
Un enunciado S es independiente de un sistema axiomático si bajo el mismo sistema no se puede probar S ni tampoco refutar. Existen importantes enunciados de la teoría de conjuntos como el Axioma de Elección y la Hipótesis del Continuo (CH) que son independientes del sistema axiomático ZF. Otro ejemplo es la consistencia del sistema ZFC que es independiente del mismo ZFC.
Forcing
En teoría de conjuntos, un método para demostrar consistencia e independencia es el forcing. Fue descubierto por el estadounidense Paul Cohen en 1963 y utilizado por él mismo para probar la independencia de la Hipótesis del Continuo y los axiomas de ZFC, entre otros resultados. Kurt Gödel, austro-húngaro, ya había demostrado en 1938 que si ZFC es consistente entonces ZFC+CH también es consistente. Cohen demostró que si ZFC es consistente entonces ZFC+¬CH también lo es.
El forcing consiste en construir objetos a partir de aproximaciones (esto hace recordar la manera en que se demostró el Teorema de Recursión en clase). Usando un ejemplo de [4], aproximaciones de un conjunto A a un conjunto B que forman un conjunto parcialmente ordenado, donde si q ⊆ p se dice que p es más fuerte que q. Con esta técnica, Cohen construyó a partir de un modelo M cualquiera de ZFC, un modelo N de ZFC en el que CH es falsa.
El Axioma de Martin es un axioma de forcing independiente de ZFC. Involucra conjuntos parcialmente ordenados y asegura que hay objetos genéricos para una variedad de situaciones (Sánchez). Fue formulado por los estadounidenses Donald Martin y Robert Solovay, dedicados a la teoría de conjuntos, en los Anales de Lógica Matemática en 1970.
Imagen portada: Donald A. Martin
Bosch Bastardes, R. (2003). Demostrar teoremas con forcing. Teorema: Revista Internacional De Filosofía, 22(3), 17-36.
Hrbacek, K., & Jech, T. (1999). Chapter 15 The Axiomatic Set Theory. In Introduction to set theory. New York: Marcel Dekker.
Sánchez Terraf, P. (2017, November 13). El Axioma de Martin [PDF]. Córdoba: Centro de Investigación y Estudios de Matemática (CIEM-FaMAF).
Comments